[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Tensor o walencji 2:Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb αij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: αi'j' =pii'pjj'αijTensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież- Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m.względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe: -moment względny x1,x2,x3Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.Def.Kwadryka:Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących i spełniających równanienazywamy kwadryką tensorową tensor TB.Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia.Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:Postać kanoniczna kwadryki tensorowej:Rachunek operatorów:Funkcja Heviside'a:0 dla x<cη(x-c)= 0,5 dla x=c1 dla x>cDef.Przekształcenie Laplace'a:Przekształcenie Laplace'a funkcji f(x) zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną wzorem:Jeżeli całka istnieje, to funkcję nazywamy transformatą Laplace'a funkcji f(x) i oznaczali będziemy symbolem:F(s)=L[f(x)]Def.Klasy oryginałów:Mówimy, że funkcja f(x) przedziałami ciągła należy do klasy oryginałów gdy spełnia następujące warunki:lf(x)=0, dla x<0llf(x)=0,5(f(x+)+ f(x-))llIstnieją stałe M i α takie, że f(x)≤Meαx.lTwierdzenie o podobieństwie:Twierdzenie o tłumieniu:I.Twierdzenie o przesunięciu:II.Twierdzenie o przesunięciu:Tw.O Transformacji funkcji okresowej:Jeżeli funkcja f(x) z klasy oryginałów jest funkcją okresową o okresie T dla wszystkich x∈R+ , to:Najczęściej spotykane transformaty:Liczby Zespolone:Kryterium porównawcze:Jeżeli o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg Σzn jest bezwzględnie zbieżny.Kryterium d'Alamberta:Jeżeli o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.Kryterium Cauchy'ego:Jeżeli o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.Tw.Warunek konieczny i dostateczny:Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności Σzn o wyrazach zn=xn+yn do sumy S=S1+S2i jest jednoczesna zbieżność szeregów Σxn i Σyn odpowiedio do sum S1 i S2.Def.Granicy według Heinego:Def.Granicy według Cauchy`ego:Def.Logarytm liczby zespolonej:Liczbę zespoloną w=u+iv nazywamy logarytmem naturalnym z liczby zespolonej z=x+iy≠0 w =ln z, jeżeli ew=z, ln z=lnz+i(ϕ+2kπ).Def.Pochodna funkcji zesoplonej:Pochodną funkcji w=f(z) w punkcie z0 nazywamy granicę:,jeżeli granica istnieje i jest skończona.Def.Holomorficzność funkcji w punkcie:Mówimy, że funkcja jest Holomorficzna, jeśli jest różniczkowalna w punkcie z0 i pewnym jego otoczeniu.Def.Holomorficzność funkcji w obszarze D:Mówimy, że funkcja jest holomorficzna w obszerze D, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego obszaru.Tw.Cauchy'ego-Riemana:Jeżeli funkcja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ma pochodną w punkcie z0=x0+ iy0 ,to istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części rzeczywistej u(x,y) i części urojonej v(x,y) oraz pochodne spełniają w tym punkcie równania:Warunek konieczny, aby f(z) miała pochodną:Jeżeli część rzeczywista u(x,y) i część urojona v(x,y) funkcji f(z)=u(x,y)+v(x,y) spełniają warunki Cauychego-Riemana w pewnym obszarze D i ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym obszarze, to funkcja f(z) w każdym punkcie a=x+iy tego obszaru pochodną f'(z) określoną wzorem:Rozwinięcia funkcji:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]